Cálculo vectorial y tensorial

En la mecánica de medios continuos el interés primordial no reside únicamente
en el estudio de las relaciones algebraicas entre escalares, vectores
y tensores, sino también en el estudio de los campos que de nen su distribuci
ón. Estos campos son aplicaciones que a un punto x 2 D, siendo D E3 un
dominio (subconjunto abierto y conexo del espacio geométrico ordinario), le
hacen corresponder respectivamente un escalar (D ! R), un vector (D ! V)
o un tensor de orden 2 (D ! V2). Por otra parte, elegido un origen o 2 E3,
puede identi carse cada punto con un vector, x = −!ox x, por lo que en adelante
no distinguiremos entre ambos. Los tipos de campos que estudiaremos
son por tanto:
8><
>:
: E3 D ! R, x 7! (x), campo escalar;
v : E3 D ! V, x 7! v(x), campo vectorial;
S : E3 D ! V2, x 7! S(x), campo tensorial.

También son de importancia central en la mecánica de medios continuos
las aplicaciones o mapas puntuales, que hacen corresponder a un punto x 2
E3 otro punto (x) 2 E3, ya que estas aplicaciones de nen directamente
el movimiento o deformación del medio continuo. Estas aplicaciones pueden
tratarse como campos vectoriales por la equivalencia existente entre puntos
y vectores una vez que se haya elegido un origen o.
En todos los casos supondremos que las funciones son suaves, es decir
poseen las condiciones de continuidad y derivabilidad necesarias.

 Derivada de un campo escalar
Sea un campo escalar que denominaremos (x), que a cada punto x de
un determinado dominio D le hace corresponder un escalar 2 R. Eligiendo
un sistema de referencia ortonormal en E3, este campo puede interpretarse
como una función real de tres variables, las coordenadas de x:

Categories: