En cálculo vectorial, un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una flecha, con una magnitud dada y la dirección, que se adjunta a cada punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la fuerza y la dirección de algunas fuerzas , como la magnética o gravitatoria la fuerza, a medida que cambia de punto a punto.
Los elementos del cálculo diferencial e integral se extiende a los campos vectoriales de una manera natural. Cuando un campo vectorial representa la fuerza, la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza en movimiento a lo largo de un camino, y bajo esta interpretación, la conservación de la energía se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del cálculo . Los campos vectoriales útil se puede considerar como la representación de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones tales como la divergencia (que representa la tasa de variación del volumen de un flujo) y curvatura (que representa la rotación de un flujo).
En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en el n -espacio de dimensión euclidiana se puede representar como un vector de función con valores que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y hay una bien definida la ley de transformación al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los campos vectoriales se discuten a menudo sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, sino también tener sentido en otros subconjuntos tales como superficies , donde se asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector de la tangente ). De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que se ven como el espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero pueden tener una estructura más compleja a escalas mayores. En este contexto, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del fibrado tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo de tensores.
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